[프로그래머를 위한 기초해석학] 1.1 집합과 사상

1장 수학의 기초 개념

1.1 집합과 사상

1.1.1 집합이란?

• 집합: 사물을 모아놓은 것(대소X, 순서매기기X)
• 원소: 집합에 포함되는 각각의 사물
• 순서집합: 대소 관계로 일렬로 배열할 수 있는 집합
• 수 종류에 따른 표현과 그 관계
  • 자연수, N: Natural Number
  • 정수, Z: Zahlen(독일어로 수)
  • 유리수, Q: Quotient(영어로 나눗셈의 몫)
  • 실수, R: Real Number
  • N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
• ∈: Element의 첫글자에서 따옴
  • 어떤 원소 x가 집합 A에 포함된다
  • x ∈ A
• 내포적 정의: 집합 요소가 만족시켜야 하는 성질을 표시하는 것으로 집합을 정의하는 방법
  • 수직선 좌측에는 변수를 이용한 수식을 표시, 수직선 우측에는 수식에 포함된 변수가 만족하는 조건을 표시
• 외연적 정의: 집합에 포함된 원소를 그냥 나열해 정의하는 방법

1.1.2 사상이란?

• 사상: 두 집합의 원소끼리 연결하는 것
• 단사: 각 원소의 목적지가 모두 다른 원소인 경우
• 전사: 목적지의 집합에서 볼 때 모든 원소에 찾아오는 원소가 있는 경우
• 전단사: 단사와 전사 모두를 만족하는 경우

 

 

1.1.3 집합의 연산

• 집합의 포함관계
  • A ⊂ B
• 부분집합: 집합 A가 집합 B에 포함되면 A는 B의 부분집합이다
  • x ∈ A ⇒ x ∈ B
• 공집합, ∅: 원소를 하나도 포함하지 않는 집합으로 모든 집합의 부분집합으로 여겨진다
• 합집합: 여러 개의 집합에 포함되는 원소를 모두 모아 놓은 집합
• 교집합: 여러 개의 집합에 모두 포함되는 원소만을 모아 놓은 집합
• for all, ∀: 모든
• exists, ∃: 존재
• 폐구간: 양 구간이 닫혀 있는 구간
• 개구간: 양 구간이 열려 있는 구간
• 한 쪽을 제한하지 않을 수 있음
• 무한대, ∞: 실제로 존재하지 않으며 값의 범위가 제한되어 있지 않다(얼마든지 큰 값을 취할 수 있다)는 것을 표시
• 전체 집합: 모든 집합의 합
• 집합족: 집합을 모아 놓은 것
• 여집합: 어떤 부분집합 A에 대해 X의 원소 중에서 A에 포함되지 않는 모든 원소 전체를 A의 여집합이라고 함
• 차집합: 집합 A에서 집합B에 속하는 원소를 제하는 것

1.1.4 보충설명: 논리식을 이용하는 증명 방법

• 명제:논리식에서 어떤 수학적인 주장
• 부정, not: ¬
• 양방향 성립, AND: ⋀
• 어느 한 쪽이 성립, OR: ⋁
• 등치 기호, ⇔: 한 쪽이 성립하면 반드시 다른 쪽도 성립한다는 것을 의미함
• 논리식을 이용한 증명 방법은 증명하고자 하는 사실의 내용으로부터 한 걸음 떨어져서 먼저 기계적인 논리 기호의 변환으로 진행할 수 있다는 강점을 가진다.